Permanentmagnet und Luftspaltfluß

Der magnetisch wirksame Luftspalt $\delta_i$ setzt sich aus der geometrischen Luftspalthöhe $\delta$ multipliziert mit dem Carterfaktor $k_C$ und der magnetisch wirksamen Magnethöhe $h_{PM}/\mu_{PM}$ zusammen.

$$\delta_i = k_C \, \delta + \frac{h_{PM}}{\mu_{PM}}$$ (1)

Für den Carterschen Faktor gilt gemäß [1] Gleichung (236a) und [4] Gleichungen (5.64) und (5.65) (mit der Nutteilung $\tau_n$ und der Nutschlitzbreite $b_s$):

$$k_C = \frac{\tau_n}{\tau_n - \gamma \delta}$$ (2)

$$\gamma \approx \frac{1}{1+ 5 \frac{\delta}{b_s}} \quad \delta / b_s < 1$$ (3)

Die Magnetbreite $b_{PM}$ wird hier als Kreisbogen auf Höhe der halben Magnethöhe definiert. $\alpha_p$ stellt den (geometrischen) Polbedeckungsfaktor (in %) dar. Dieser berücksichtigt die tatsächliche Breite der Magnetpole, die u.U. auch von der Magnetisierungseinrichtung abhängig ist. $D_i$ ist der Statorbohrungsdurchmesser.

$$b_{PM} = \alpha_p \frac{\pi}{2\,p} \left(D_i - 2\,\delta - h_{PM} \right)$$ (4)

Aufgrund der Streuung in den Polkanten verkürzt sich die wirksame Breite (bzw. Bogenlänge) des Magnets auf die ideelle Breite $b_{PM_i}$. Als Richtwert kann eine Verkürzung um die halbe Magnethöhe angenommen werden.

$$b_{PM_i} = b_{PM} - \frac{1}{2} h_{PM}$$ (5)

Das Verhältnis von ideeller Magnetbreite $b_{PM_i}$ zur Polteilung $\tau_p$ ergibt den ideellen Polbedeckungsfaktor $\alpha _{p_i}$.

Abbildung 1: Die Definition der ideellen Polbreite $b_{p_i}$ und des ideellen Polbedeckungsfaktors $\alpha _{p_i}$.

Abbildung 1 erläutert die Definition des ideellen Polbedeckungsfaktors über die ideelle Polbreite $b_{p_i}$. Diese entsteht aus der Umrechnung der Luftspaltinduktion in eine flächengleiche rechteckförmige Verteilung mit gleichem Maximalwert $B_{max}$.

Aus Abbildung 1 folgt:

$$\alpha_{p_i} = \frac{b_{PM_i}}{\tau_p} = \frac{B_m}{B_{max}}$$ (6)

Bei Synchronmaschinen (welche in der Regel als Generatoren verwendet werden) wird häufig der Polformfaktor $C_m$ anstelle des ideellen Polbedeckungsfaktors $\alpha_i$ verwendet.

$$C_m = \frac{\pi}{2} \frac{B_m}{B_{max}} = \frac{\pi}{2} \alpha_{p_i}$$ (7)

Bei Generatoren sind die Pole i.d.R. so gestaltet, daß sich eine möglichst sinusförmige Luftspaltinduktion ergibt. Bei exakt sinusförmiger Luftspaltinduktion ergibt sich ein Polformfaktor $C_m = 1$. Aus dem Polformfaktor ist somit direkt ersichtlich wie stark die Luftspaltinduktion von dem angestrebten sinusförmigen Verlauf abweicht [4].

Die Streuung im Stirnbereich wird durch den Polverkürzungsfaktor $k_{CP}$ berücksichtigt. Vogt führt diesen auf die Zusammenhänge des Carterschen Faktors $k_C$ gemäß der Gleichungen (2) und (3) zurück [4], wobei die Nutteilung durch die Länge des Magnets, die Nutschlitzbreite durch die Differenz zwischen Magnetlänge $l_{PM}$ und Blechpaketlänge $l_1$ (siehe Abbildung 2) und die Luftspalthöhe durch den magnetisch wirksamen Luftspalt $\delta_i$ gemäß Gleichung (1) zu ersetzen ist.

Abbildung: Prinzip der Flußkonzentration durch Verlängerung des Läufers

Da hier die Magnetlänge durchweg größer ist als die Länge des Statorblechpaketes¹, wird als Magnetlänge die geometrische Länge und nicht die wirksame Länge des Magneten verwendet. Sind Läufermagnet und Statorblech (nahezu) gleich lang, so muß die Kantenstreuung im Magnet berücksichtigt werden.

Mit der Näherungsformel für den Carterschen Faktor gemäß Gleichung (3) und [4], Tafel 5.2 ergibt sich somit

$$k_{CP} = \frac{l_{PM}} {l_{PM} - \frac{l_{PM} - l_1} {1 + 5 \, \delta_i / \left(l_{PM} - l_1\right)}}$$ (8)

Hiermit ergibt sich die wirksame Magnetlänge $l_{PM_i}$

$$l_{PM_i} = \frac{l_{PM}}{k_{CP}}$$ (9)

Unter der Annahme einer unendlichen Permeabilität des Statoreisens wird der Arbeitspunkt des Magnets lediglich durch die Höhe des Luftspalts bestimmt. Damit kann nun die magnetische Flußdichte im Luftspalt der Maschine bestimmt werden. Für die Querschnittsflächen von Permanentmagnet und Luftspalt sind die wirksamen Flächen $Q_{PM_i}$ und $Q_{\delta_i}$ zu verwenden, um die Einflüsse von Streuung und Feldaufweitung im Luftspalt zu berücksichtigen.

$$B_{\delta_0} = B_r \, \frac{h_{PM}} {\frac{Q_{\delta_i}}{Q_{PM_i}} h_{PM} + \mu_{PM} k_C \delta}$$ (10)

Die wirksame Magnetfläche $Q_{PM_i}$ berechnet sich aus dem Produkt der wirksamen Magnetlänge $l_{PM_i}$ und der wirksamen Magnetbreite $b_{PM_i}$.

$$Q_{PM_i} = l_{PM_i} b_{PM_i}$$ (11)

Die wirksame Luftspaltfläche $Q_{\delta_i}$ berechnet sich aus dem Produkt der wirksamen Luftspaltlänge $l_{\delta_i}$ und der wirksamen Polbreite $b_{\delta_i}$.

$$Q_{\delta_i} = l_{\delta_i} b_{\delta_i}$$ (12)

$$l_{\delta_i} = l_1 + 2 \delta$$ (13)

$$b_{\delta_i} = \alpha_{p_i} \tau_p$$ (14)

Der Luftspaltfluß $\Phi_{\delta,0}$ pro Pol wird über die wirksame Luftspaltquerschnittsfläche $Q_{\delta_i}$ aus der Luftspaltinduktion ermittelt.

$$\Phi_{\delta,0} = B_{\delta,0} Q_{\delta_i}$$ (15)

Sie interessieren sich für die elektrische Antriebstechnik? Dann besuchen Sie doch auch einmal meine geschäftliche Homepage.