Zeigerdiagramm

Das Verhalten des belasteten Motors wird über ein Zeigerdiagramm, gemäß Abbildung 3, ermittelt. Hier werden für sämtliche elektrischen Größen ausschließlich deren Effektivwerte betrachtet. Lediglich für die Durchflutungen werden die Scheitelwerte verwendet (Eisensättigung).

Abbildung 3: Zeigerdiagramm des belasteten Motors

Ausgangspunkt ist der Scheitelwert der Grundwelle der Rotordurchflutung $\Theta_{PM,I}$ im Luftspalt, welche hier auf der negativen imaginären Achse zu liegen kommt. Ein Permanentmagnet durch eine äquivalente Durchflutung ersetzt werden. Sind die Querschnittsflächen von Permanentmagnet und Luftspalt nicht gleich, so muß diese Ungleichheit durch den Flußkonzentrationsfaktor $N_y$ berücksichtigt werden. Unter der Annahme, daß die Ersatzdurchflutung des Permanentmagnets die selbe räumliche Verteilung aufweist wie die Induktion, kann deren Grundwellenamplitude gemäß Gleichung (21) ermittelt werden - es gilt somit auch hier der Polformkoeffizient $C_I$ gemäß Gleichung (23).

$$\hat{\Theta}_{PM,I} = C_I N_y B_r \frac{h_{PM}}{\mu_0 \, \mu_{PM}}$$ (46)

Die Flußkonzentration kann mittels Gleichung (10) abgeschätzt werden, indem man die Luftspaltinduktionen für $Q_{\delta_i}/Q_{PM} = 1$ und $Q_{\delta_i}/Q_{PM} < 1$ ins Verhältnis setzt.

$$N_y = \frac{h_{PM} + \mu_{PM} k_C \delta} {\frac{Q_{\delta_i}}{Q_{PM_i}} h_{PM} + \mu_{PM} k_C \delta} \approx \frac{Q_{PM_i}}{Q_{\delta_i}} \quad h_{PM} \gg \mu_{PM} k_C \delta$$ (47)

Bei belastetem Motor fließt ein Statorstrom $I_1$. Dieser bewirkt die Durchflutung $\underline{\Theta}_1$ gemäß Gleichung (45). Die Durchflutung $\underline{\Theta}_1$ ist nun unter dem Phasenwinkel des Statorstromes in das Zeigerdiagramm einzutragen. Die Durchflutung $\underline{\Theta}_1$ des Ständerstromes und die Grundwelle der Durchflutung des Rotormagneten $\underline{\Theta}_{PM,I}$ spannen den Durchflutungswinkel $\psi$ auf. Die Statordurchflutung kann nun in einen Anteil in d-Richtung, also in Richtung der Läuferlängsachse, und einen in q-Richtung, senkrecht dazu, zerlegt werden.

$$\hat{\Theta}_{1,d} = \hat{\Theta}_1 \cos \psi$$ (48)

$$\hat{\Theta}_{1,q} = \hat{\Theta}_1 \sin \psi$$ (49)

Ebenso gilt:

$$I_{1,d} = I_1 \cos \psi$$ (50)

$$I_{1,q} = I_1 \sin \psi$$ (51)

Diese Durchflutungen addieren sich zu der resultierenden Magnetisierungsdurchflutung $\Theta_{\mu,I}$.

$$\hat{\Theta}_{\mu,I} = \sqrt{\left(\hat{\Theta}_{PM,I} + \hat{\Theta}_{1,d}\right)^2 + \left. \hat{\Theta}_{1,q} \right. ^2}$$ (52)

Diese liegt im Winkel $\gamma$ zu der d-Achse, bzw. zu der $-$Im-Achse.

$$\gamma = \arctan\frac{\hat{\Theta}_{1,q}} {\hat{\Theta}_{PM,I} + \hat{\Theta}_{1,d}}$$ (53)

Die resultierende Magnetisierungsdurchflutung erzeugt die Luftspaltinduktion $\hat{B}_{\delta,I}$. Unter Vernachlässigung der Sättigung der Eisenwege gilt:

$$\hat{B}_{\delta,I} = \hat{\Theta}_{\mu,I} \frac{\mu_0}{\delta_i}$$ (54)

Die Luftspaltinduktion, bzw. der Luftspaltfluß, induziert in der Statorwicklung die Spannung $\underline{U}_i$. Sie steht senkrecht auf der Magnetisierungsdurchflutung $\underline{\Theta}_{\mu,I}$ und eilt ihr um $90^\circ$ el. voraus. Sie kann mittels Gleichung (33) ermittelt werden.

$$U_{i,I} = 2 \sqrt{2} \, n \, p \, w_1 \xi_I \hat{B}_{\delta,I} l_{\delta_i} \tau_p$$ (55)

$\underline{U}_i$ bildet mit der reellen Achse - bzw. mit der q-Achse - ebenfalls den Winkel $\gamma$, wobei aber das negative Vorzeichen der d-Komponente zu beachten ist! Sie kann ebenfalls in eine d- und eine q-Achsenkomponente aufgeteilt werden.

$$U_{i,d} = -U_i \sin \gamma$$ (56)

$$U_{i,q} = U_i \cos \gamma$$ (57)

Die vektorielle Multiplikation (skalares Produkt) aus $\underline{U}_i$ und $\underline{I}_1$ stellt die innere Leistung des Motors dar. Für das skalare Produkt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:

$$c = \vec{a} \cdot \vec{b} = \mid \vec{a} \mid \cdot \mid \vec{b} ... ... \left(\sphericalangle_{\vec{a},\vec{b}}\right) = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$$

Damit ergibt sich für die innere Leistung $P_i$ Motors:

$$P_i = m \, U_i \, I_1 \cos\left( \frac{\pi}{2} + \gamma - \psi \right) = m \left( U_{i,d} I_{1,d} + U_{i,q} I_{1,q} \right)$$ (58)

Zu der induzierten Spannung $\underline{U}_i$ addiert sich der Spannungsabfall $\underline{U}_\sigma$ an der Streureaktanz $X_\sigma = j \omega L_\sigma$. Dieser wird vom Statorstrom verursacht und eilt diesem somit um $90^\circ$ voraus.

Zu $\underline{U}_\sigma$ wird der ohmsche Statorspannungsabfall $\underline{U}_{R,1}$ addiert. Dieser ist parallel zum Statorstrom $\underline{I}_1$ aufzutragen. Die Summe $\underline{U}_i + \underline{U}_\sigma + \underline{U}_{R,1}$ ist die Klemmenspannung $\underline{U}_1$ des Motors. Sie bildet mit der Polradspannung $\underline{U}_p$ den Polradwinkel $\vartheta$ und mit dem Statorstrom $\underline{I}_1$ den Phasenwinkel $\varphi$. In d- und q-Koordinaten kann sie sehr einfach angegeben werden.

$$U_{1,d} = U_{i,d} - X_{\sigma} I_{1,q} + R_1 I_{1,d}$$ (59)

$$U_{1,q} = U_{i,q} + X_{\sigma} I_{1,d} + R_1 I_{1,q}$$ (60)

Die aufgenommene elektrische Leistung ergibt sich aus der vektoriellen Multiplikation von $\underline{U}_1$ und $\underline{I}_1$.

$$P_{el} = m \, U_1 \, I_1 \cos \varphi = m \left( U_{1,d} I_{1,d} + U_{1,q} I_{1,q} \right)$$ (61)

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